Mathematik

Integralrechner

Der Integralrechner berechnet bestimmte Integrale jeder einvariablen Funktion, die als mathematischer Standardausdruck eingegeben wird. Er wendet die zusammengesetzte Simpson-Regel (1/3) (Standard), die zusammengesetzte Trapezregel oder die zusammengesetzte Mittelpunktregel mit Fehlerschätzung durch Richardson-Extrapolation an. Der interaktive Mafs-Graph zeigt den schattierten Bereich zwischen f(x) und der x-Achse mit farbcodierten positiven und negativen Bereichen und einer überlagerten Riemann-Summen-Rechteckvisualisierung, die durch einen Echtzeit-Schieberegler gesteuert wird.

Tipps zum Integralrechner

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Beispiel ausprobieren

Wähle ein Szenario, um zu sehen, wie der Rechner funktioniert, und passe dann die Werte an

Einfaches Polynom

Integriere x² von 0 bis 1 mit der Simpson-Regel. Exaktes Ergebnis: 1/3.

Wichtige Werte: x² · [0, 1] · Simpson-Regel

Trigonometrisches Integral

Integriere sin(x) von 0 bis π. Exaktes Ergebnis: 2.

Wichtige Werte: sin(x) · [0, π] · Exakt: 2

Fläche unter einer Glockenkurve

Nähere das Gauß-Integral e^(-x²) von -3 bis 3 an.

Wichtige Werte: e^(-x²) · [-3, 3] · Gauß

Dokumentation

Was ist ein bestimmtes Integral?

Ein bestimmtes Integral berechnet die vorzeichenbehaftete Flaeche zwischen einer Funktion $f(x)$ und der $x$ -Achse ueber das Intervall $[a, b]$ :

\int_a^b f(x)\,dx

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (Teil 2) verbindet Stammfunktionen mit bestimmten Integralen: Wenn $F'(x) = f(x)$ , dann

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

Viele Funktionen haben jedoch keine elementare Stammfunktion. In diesen Faellen approximieren numerische Integrationsmethoden das Integral mit hoher Praezision.

So verwenden Sie diesen Rechner

Geben Sie einen Ausdruck ein: x^2, sin(x), exp(-x^2). Die Variable muss x sein.
Setzen Sie die untere Grenze $a$ und obere Grenze $b$ .
Waehlen Sie eine Integrationsmethode (Standard: Simpson-1/3-Regel).
Klicken Sie auf Berechnen, um das numerische Ergebnis, die Fehlerschaetzung und die interaktive Flaechengrafik zu sehen.
Passen Sie den Riemann-Rechtecke-Regler an, um zu visualisieren, wie Rechtecke die Flaeche unter der Kurve approximieren.

Formeln: Numerische Integrationsmethoden

Simpson-1/3-Regel (Standard)

Die genaueste der drei Methoden mit $O(h^4)$ -Konvergenz, exakt fuer Polynome bis Grad 3.

Trapezregel

Einfach und robust mit $O(h^2)$ -Konvergenz, exakt fuer lineare Funktionen. Besonders effektiv fuer periodische Funktionen ueber vollstaendige Perioden.

Mittelpunktregel

Gleiche $O(h^2)$ -Konvergenz wie die Trapezregel, aber mit halber Fehlerkonstante. Natuerlich robust bei Endpunkt-Singularitaeten.

Konvergenzvergleich

Methode	Konvergenz	Fehler bei n=100	Exakt fuer
Simpson 1/3	$O(h^4)$	$\sim 10^{-11}$	Polynome bis Grad 3
Trapez	$O(h^2)$	$\sim 10^{-5}$	Lineare Funktionen
Mittelpunkt	$O(h^2)$	$\sim 10^{-5}$	Lineare Funktionen

Praxisbeispiele

1. Querschnittsflaeche eines parabolischen Huegels

Eine Strasse durchschneidet einen Huegel mit Querschnitt $y = -0{,}01x^2 + 0{,}6x$ Meter:

\int_0^{60} (-0{,}01x^2 + 0{,}6x)\,dx = 360 \text{ m}^2

2. Arbeit einer Feder

Eine Feder mit Konstante $k = 4900$ N/m wird 0,15 m komprimiert:

W = \int_0^{0{,}15} 4900x\,dx = 55{,}1 \text{ J}

3. Gauss-Integral (Wahrscheinlichkeit)

Die Funktion $e^{-x^2}$ hat keine elementare Stammfunktion:

\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \approx 0{,}7468

Vorzeichenbehaftete Flaeche vs. Gesamtflaeche

Das bestimmte Integral berechnet vorzeichenbehaftete Flaeche: Bereiche ueber der $x$ -Achse sind positiv, Bereiche darunter negativ.

\int_0^{2\pi} \sin(x)\,dx = 0 \quad \text{(vorzeichenbehaftet)}

Die Gesamtflaeche (Integral von $|f(x)|$ ) ist:

\int_0^{2\pi} |\sin(x)|\,dx = 4 \quad \text{(Gesamtflaeche)}

Gaengige Integrationstechniken

Technik	Formel	Verwenden bei
u-Substitution	$\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$	Verkettete Funktion mit vorhandener innerer Ableitung
Partielle Integration	$\int u\,dv = uv - \int v\,du$	Produkt zweier Funktionen
Partialbruchzerlegung	$\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A}{x-r_1} + \frac{B}{x-r_2} + \cdots$	Rationale Funktionen mit Grad(P) < Grad(Q)
Trigonometrische Substitution	$\sqrt{a^2 - x^2} \to x = a\sin\theta$	Integranden mit Wurzelausdruecken

Haeufig gestellte Fragen

Was ist, wenn meine Funktion keine elementare Stammfunktion hat?

Funktionen wie e^(-x²) und sin(x)/x sind nach dem Satz von Liouville nachweislich nicht-elementar. Der Rechner verwendet automatisch numerische Methoden. Das Ergebnis ist eine Naeherung, gekennzeichnet mit dem ≈-Symbol.

Warum ist mein Ergebnis 0, obwohl ich eine positive Flaeche erwartet habe?

Das Integral berechnet die vorzeichenbehaftete Flaeche. Wenn f(x) ueber einen Teil von [a, b] negativ ist, werden diese Bereiche subtrahiert. Verwenden Sie das Ergebnis "Gesamtflaeche", das stattdessen ∫|f(x)|dx berechnet.

Was bedeutet die Fehlerschaetzung?

Die Fehlerschaetzung ist |I_n - I_(n/2)|, ein Vergleich der Ergebnisse bei n und n/2 Unterteilungen. Sie approximiert den Abbruchfehler der numerischen Methode, nicht ein statistisches Konfidenzintervall.

Warum scheint mein Integral zu divergieren?

Wenn f(x) eine vertikale Asymptote innerhalb von [a, b] hat (z.B. 1/x² auf [-1, 1]), divergiert das Integral und der Rechner meldet einen Fehler. Versuchen Sie, die Singularitaet aus den Grenzen auszuschliessen.

Welche Methode sollte ich verwenden?

Verwenden Sie die Simpson-Regel (Standard) fuer glatte Funktionen -- sie erreicht etwa 11 korrekte Stellen bei n = 1000. Verwenden Sie die Mittelpunktregel, wenn f(x) an den Endpunkten undefiniert ist. Die Trapezregel ist selten vorzuziehen, aber fuer Bildungsvergleiche enthalten.

Haftungsausschluss

Alle Ergebnisse sind numerische Naeherungen. Die Genauigkeit haengt von der Glattheit von $f(x)$ , der Intervallbreite und der Anzahl der Unterteilungen ab. Fuer Integrale mit Singularitaeten oder stark oszillierendem Verhalten koennen die Ergebnisse weniger genau sein. Dieser Rechner dient Bildungszwecken.