Mathematik

Ableitungsrechner

Der Ableitungsrechner akzeptiert jeden mathematischen Ausdruck mit einer Variablen und gibt die exakte symbolische Ableitung mit einer schrittweisen Herleitung zurück, die jede angewandte Differentiationsregel zeigt. Berechnet erste bis fünfte Ableitungen, zeigt Ergebnisse als formatiertes LaTeX an und stellt sowohl f(x) als auch f'(x) in einem interaktiven Graphen mit optionaler Tangentenlinie an einem frei wählbaren Punkt dar.

Ableitungsrechner-Tipps

Klicke, um Tipps einzublenden

Beispiel ausprobieren

Wähle ein Szenario, um zu sehen, wie der Rechner funktioniert, und passe dann die Werte an

Potenzregel

Leite ein Polynom mit der Potenzregel ab.

Wichtige Werte: f(x) = x^3 - 2x^2 + x · 1. Ableitung

Kettenregel

Leite eine zusammengesetzte Funktion mit sin(x^2) ab.

Wichtige Werte: f(x) = sin(x^2) · Kettenregel angewandt

Produktregel mit Tangente

Leite exp(x)*cos(x) ab und werte die Tangente bei x = 0 aus.

Wichtige Werte: f(x) = exp(x)*cos(x) · Tangente bei x = 0

Zweite Ableitung

Berechne die zweite Ableitung zur Analyse der Kruemmung.

Wichtige Werte: f(x) = x^4 - 6x^2 + 4 · 2. Ableitung

Dokumentation

Was ist eine Ableitung?

Eine Ableitung misst die momentane Aenderungsrate einer Funktion bezueglich ihrer Variable. Geometrisch entspricht die Ableitung an einem Punkt der Steigung der Tangente am Graphen der Funktion an diesem Punkt.

Die formale Definition verwendet Grenzwerte:

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

Ableitungen sind grundlegend fuer die Analysis und erscheinen in Naturwissenschaften, Ingenieurwesen, Wirtschaftswissenschaften und maschinellem Lernen. Sie beantworten die Frage: Wie schnell aendert sich diese Groesse gerade jetzt?

So verwenden Sie diesen Rechner

Geben Sie einen Ausdruck ein im Eingabefeld. Verwenden Sie Standard-Mathematik-Notation:x^3 - 2*x^2 + x, sin(x^2), exp(x) * cos(x).
Waehlen Sie die Variable der Differentiation (Standard ist x).
Waehlen Sie die Ableitungsordnung (1. bis 5.).
Klicken Sie auf Berechnen, um die symbolische Ableitung, Schritt-fuer-Schritt-Loesung und interaktive Grafik zu sehen.
Optional: Aktivieren Sie An einem Punkt auswerten, um den numerischen Wert von f(x) und f'(x) an einem bestimmten x-Wert zu sehen.

Ableitungsregeln-Referenz

Grundregeln

Regel	Formel	Beispiel
Konstante	$\frac{d}{dx}[c] = 0$	$\frac{d}{dx}[5] = 0$
Potenz	$\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}$	$\frac{d}{dx}[x^3] = 3x^2$
Konstanter Faktor	$\frac{d}{dx}[c \cdot f(x)] = c \cdot f'(x)$	$\frac{d}{dx}[5x^2] = 10x$
Summe/Differenz	$\frac{d}{dx}[f \pm g] = f' \pm g'$	$\frac{d}{dx}[x^2 + x] = 2x + 1$
Produkt	$\frac{d}{dx}[f \cdot g] = f'g + fg'$	$\frac{d}{dx}[x \cdot \sin(x)] = \sin(x) + x\cos(x)$
Quotient	$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{f}{g}\right] = \frac{f'g - fg'}{g^2}$	$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{\sin(x)}{x}\right] = \frac{x\cos(x) - \sin(x)}{x^2}$
Kette	$\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$	$\frac{d}{dx}[\sin(x^2)] = 2x\cos(x^2)$

Trigonometrische Ableitungen

Funktion	Ableitung
$\sin(x)$	$\cos(x)$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$
$\tan(x)$	$\sec^2(x)$
$e^x$	$e^x$
$\ln(x)$	$\frac{1}{x}$

Praxisbeispiele

1. Physik: Geschwindigkeit aus Position

Die Position eines Teilchens ist s(t) = t³ - 3t² + 2t Meter. Die Geschwindigkeit ist die Ableitung: v(t) = 3t² - 6t + 2 m/s. Bei t = 2 Sekunden: v(2) = 2 m/s.

2. Wirtschaft: Grenzkosten

Die Gesamtkostenfunktion ist C(q) = 0,01q² + 5q + 100 Euro. Die Grenzkosten sind C'(q) = 0,02q + 5. Bei q = 200: MC = 9 Euro pro Einheit.

3. Maschinelles Lernen: Gradientenabstieg

Die Verlustfunktion L(w) = (w - 3)² + 2 misst den Modellfehler. Der Gradient ist dL/dw = 2(w - 3). Der Gradientenabstieg aktualisiert w entgegen der Gradientenrichtung.

4. Optimierung: Extremwerte finden

Um das Maximum von f(x) = -x² + 6x - 5 zu finden, setze f'(x) = 0: -2x + 6 = 0, also x = 3. Die zweite Ableitung f''(x) = -2 < 0 bestaetigt ein Maximum. Der Maximalwert ist f(3) = 4.

Haeufige Fehler

Kettenregel bei Verkettungen vergessen. d/dx[sin(x²)] ist NICHT cos(x²). Man muss mit der Ableitung der inneren Funktion multiplizieren: 2x*cos(x²).
Produktregel mit Kettenregel verwechseln. d/dx[x*sin(x)] erfordert die Produktregel, nicht die Kettenregel.
ln(x) vs. log₁₀(x). In der Analysis bedeutet log typischerweise den natuerlichen Logarithmus (Basis e), dessen Ableitung 1/x ist.
Vor dem Ableiten nicht vereinfachen. Vorheriges Vereinfachen kann Fehler verhindern.

Haeufig gestellte Fragen

Ist dieser Ableitungsrechner kostenlos?

Ja, komplett kostenlos einschliesslich Schritt-fuer-Schritt-Loesungen. Im Gegensatz zu Symbolab und Wolfram Alpha gibt es keine Bezahlschranke fuer schrittweise Ableitungen. Keine Registrierung erforderlich.

Welche Funktionen werden unterstuetzt?

Alle Standard-mathjs-Funktionen: sin, cos, tan (und ihre Inversen), sinh, cosh, tanh (und ihre Inversen), exp, log (natuerlich), log10, sqrt, cbrt, abs und beliebige Kombinationen davon ueber die Kettenregel. Nicht unterstuetzt: Gamma-, Fehlerfunktion und Besselfunktionen.

Kann er multivariable Funktionen verarbeiten?

Ja. Aendern Sie das Variablenfeld, um nach einer beliebigen Variable abzuleiten. Alle anderen Symbole werden automatisch als Konstanten behandelt, was eine partielle Ableitung berechnet.

Warum sieht mein Ergebnis unvereinfacht aus?

Algebraische Vereinfachung ist grundsaetzlich schwierig. Der Rechner wendet Standard-Vereinfachungsregeln an, aber manche komplexen Ausdruecke lassen sich nicht vollstaendig reduzieren. Das Ergebnis ist immer mathematisch korrekt.

Was ist der Unterschied zwischen d/dx und partiell/partiell x?

d/dx bezeichnet die gewoehnliche Ableitung fuer einvariable Funktionen. Das partielle Ableitungssymbol wird verwendet, wenn die Funktion von mehreren Variablen abhaengt und man nach einer ableitet, waehrend die anderen konstant gehalten werden. Dieser Rechner behandelt beides.

Kann er implizite Ableitungen berechnen?

Der Hauptrechner behandelt explizite Funktionen f(x). Fuer implizites Differenzieren verwenden Sie den Ansatz der partiellen Ableitungen.

Kurze Geschichte der Ableitungen

Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz entwickelten das Konzept der Ableitung unabhaengig voneinander im spaeten 17. Jahrhundert. Newton nannte sie Fluxionen und verwendete Punkt-Notation, waehrend Leibniz die dy/dx-Notation einfuehrte, die bis heute verwendet wird.

Haftungsausschluss

Dieser Rechner dient Bildungs- und Informationszwecken. Obwohl die symbolische Berechnungsengine (mathjs) gut getestet ist, sollten Ergebnisse fuer kritische Anwendungen ueberprueft werden. Der Vereinfachungsalgorithmus liefert moeglicherweise nicht immer die kompakteste Form der Ableitung.