Satz des Pythagoras Rechner

Was ist der Satz des Pythagoras?

Der Satz des Pythagoras ist eine der grundlegendsten Beziehungen in der gesamten Mathematik. Er besagt, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse (die Seite gegenueber dem rechten Winkel) gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten, der Katheten, ist:

Dabei sind $a$ und $b$ die Katheten und $c$ die Hypotenuse. Diese Identitaet gilt nur fuer rechtwinklige Dreiecke -- fuer andere Dreiecke ist die Verallgemeinerung der Kosinussatz.

Der Satz ist nach dem altgriechischen Mathematiker Pythagoras von Samos (ca. 570--495 v. Chr.) benannt, obwohl die Beziehung babylonischen Mathematikern etwa 1.300 Jahre frueher bekannt war. Die Tontafel Plimpton 322 (~1800 v. Chr.) verzeichnet 15 pythagoraeische Tripel im Sexagesimalsystem, und die indische Baudhayana-Shulbasutra (~800 v. Chr.) formuliert den Satz fuer die Konstruktion vedischer Feueraltaere.

Formeln

Hypotenuse berechnen

Wenn beide Katheten bekannt sind:

Kathete berechnen

Wenn die Hypotenuse und eine Kathete bekannt sind:

Hinweis: Die Hypotenuse $c$ muss groesser sein als die bekannte Kathete; andernfalls ist der Ausdruck unter der Wurzel negativ und es existiert keine reelle Loesung.

Umkehrung des Satzes von Pythagoras

Die Umkehrung ermoeglicht die Klassifikation jedes Dreiecks durch Vergleich von $a^2 + b^2$ mit $c^2$: gleich bedeutet rechtwinklig, groesser bedeutet spitzwinklig, kleiner bedeutet stumpfwinklig.

Entfernungsformel

Die Entfernungsformel $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ ist der auf Koordinaten angewendete Satz des Pythagoras.

Zusammenhang mit dem Kosinussatz

Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall des Kosinussatzes. Fuer jedes Dreieck gilt:

Wenn $C = 90°$, $\cos(90°) = 0$, und die Formel vereinfacht sich exakt zu $a^2 + b^2 = c^2$.

Klassische Beweise

Der Satz des Pythagoras hat moeglicherweise mehr bekannte Beweise als jeder andere Satz in der Mathematik -- Elisha Loomis katalogisierte 370 Beweise, und Cut-the-Knot hat ueber 100 gesammelt.

Umordnungsbeweis (Bhaskaras "Schau!")

Nimm vier identische rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten $a$ und $b$. Ordne sie in einem grossen Quadrat der Seitenlaenge $(a + b)$ an. In einer Konfiguration lassen sie ein gedrehtes Quadrat der Flaeche $c^2$ in der Mitte frei; in der anderen lassen sie zwei kleinere Quadrate der Flaechen $a^2$ und $b^2$ frei. Da beide Konfigurationen dieselbe Gesamtflaeche fuellen: $c^2 = a^2 + b^2$.

Garfields Trapez-Beweis (1876)

Der 20. US-Praesident James Garfield veroeffentlichte diesen Beweis, als er noch Kongressabgeordneter war. Ordne zwei Kopien des rechtwinkligen Dreiecks zu einem Trapez mit parallelen Seiten $a$ und $b$ an. Berechne die Trapezflaeche auf zwei Arten und setze sie gleich -- das ergibt $a^2 + b^2 = c^2$.

Pythagoraeische Tripel

Ein pythagoraeisches Tripel $(a, b, c)$ ist eine Menge positiver ganzer Zahlen, die $a^2 + b^2 = c^2$ erfuellen -- rechtwinklige Dreiecke mit ganzzahligen Seiten. Das bekannteste ist (3, 4, 5). Euklids Formel kann alle primitiven Tripel erzeugen.

Praxisbeispiele

Beispiel 1: Bau -- Rechtwinkligkeit eines 3×4 m Raums pruefen

Ein Bauarbeiter misst die Diagonale eines Raums, um rechte Winkel zu ueberpruefen. Bei Waenden von 3 m und 4 m:

Wenn die gemessene Diagonale 5 m betraegt, sind die Ecken rechtwinklig. Dies ist das (3, 4, 5)-Tripel -- die klassische "3-4-5-Methode", die Bauarbeiter taeglich einsetzen.

Beispiel 2: Leitersicherheit

Eine 6-m-Leiter wird mit ihrem Fuss 1,5 m von der Wand entfernt aufgestellt. Wie hoch reicht sie?

Die Leiter reicht etwa 5,81 m hoch. Die korrekte Aufstellung einer Leiter verhindert jaehrlich Hunderttausende von Verletzungen.

Beispiel 3: Bildschirmdiagonale -- Ueberpruefen eines 55-Zoll-Fernsehers

Ein Verbraucher misst den sichtbaren Bereich eines Fernsehers als 122 cm breit und 69 cm hoch:

Die Diagonale stimmt mit der beworbenen Groesse von "55 Zoll" ueberein. Bei 16:9-Bildschirmen gilt: Breite ≈ Diagonale × 0,872 und Hoehe ≈ Diagonale × 0,49.

Beispiel 4: Hausaufgabe -- Klassisches 5-12-13-Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck hat Katheten von 5 cm und 12 cm. Berechne die Hypotenuse.

Dies ist das primitive pythagoraeische Tripel (5, 12, 13) -- das am zweithaefigsten gelehrte Tripel nach (3, 4, 5).

Beispiel 5: Sport -- Catcher-Wurf zur zweiten Base

Ein Baseball-Diamant ist ein Quadrat mit 90-Fuss-Seiten. Der Wurf des Catchers zur zweiten Base kreuzt die Diagonale:

Dieser etwa 127-Fuss-Wurf ist einer der anspruchsvollsten Spielzuege im Baseball.

Haeufige Fehler

• $a^2 + b^2 = (a + b)^2$ -- Der haeufigste Fehler. Das Quadrat einer Summe ist NICHT dasselbe wie die Summe der Quadrate. $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \neq a^2 + b^2$.
• Die letzte Quadratwurzel vergessen -- Schueler geben manchmal $c^2$ statt $c$ an.
• Den Satz auf nicht-rechtwinklige Dreiecke anwenden -- Der Satz des Pythagoras gilt nur fuer rechtwinklige Dreiecke. Fuer andere Dreiecke verwende den Kosinussatz.
• Die Hypotenuse falsch identifizieren -- Die Hypotenuse liegt immer gegenueber dem rechten Winkel und ist immer die laengste Seite. Wenn das Dreieck gedreht ist, finde zuerst den rechten Winkel.
• Immer nur die Hypotenuse berechnen -- Die Formel laesst sich umstellen, um jede Kathete zu berechnen: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$.

Haeufig gestellte Fragen

Wie berechne ich die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks?

Verwende $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, wobei $a$ und $b$ die beiden Katheten sind. Quadriere jede Kathete, addiere die Ergebnisse und ziehe die Quadratwurzel.

Wie berechne ich eine fehlende Kathete?

Verwende $a = \sqrt{c^2 - b^2}$. Ziehe das Quadrat der bekannten Kathete vom Quadrat der Hypotenuse ab und nimm dann die Quadratwurzel.

Gilt der Satz des Pythagoras fuer alle Dreiecke?

Nein. Er gilt nur fuer rechtwinklige Dreiecke (mit einem 90-Grad-Winkel). Fuer andere Dreiecke verwende den Kosinussatz: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$.

Was ist ein pythagoraeisches Tripel?

Eine Menge von drei positiven ganzen Zahlen $(a, b, c)$, die $a^2 + b^2 = c^2$ erfuellen. Beispiele sind (3, 4, 5), (5, 12, 13) und (8, 15, 17). Ein Tripel ist primitiv, wenn die drei Zahlen keinen gemeinsamen Teiler haben.

Kann ich den Satz des Pythagoras im 3D-Raum anwenden?

Ja. Die Raumdiagonale eines Quaders mit den Abmessungen $l$, $b$ und $h$ ist $d = \sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$. Dabei wird der Satz zweimal hintereinander angewendet.

Wer hat den Satz des Pythagoras entdeckt?

Der Satz ist nach Pythagoras (~570--495 v. Chr.) benannt, war aber babylonischen Mathematikern mindestens 1.300 Jahre frueher bekannt (Plimpton-322-Tontafel, ~1800 v. Chr.) und wurde unabhaengig von indischen Mathematikern in der Baudhayana-Shulbasutra (~800 v. Chr.) sowie chinesischen Mathematikern im Zhoubi Suanjing formuliert.

Quellen

• Wolfram MathWorld. "Pythagorean Theorem." https://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTheorem.html
• Encyclopaedia Britannica. "Pythagorean theorem." https://www.britannica.com/science/Pythagorean-theorem
• Cut-the-Knot. "Pythagorean Theorem and its many proofs." https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/
• Wikipedia. "Shulba Sutras." https://en.wikipedia.org/wiki/Shulba_Sutras
• Conrad, K. "Pythagorean Triples." University of Connecticut. https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/ugradnumthy/pythagtriple.pdf