Mathematik

Komplexe-Zahlen-Rechner

Ein visueller Rechner fuer komplexe Zahlen, der alle Standardoperationen in kartesischer (a + bi) und Polarform (r∠θ) berechnet. Gib eine oder zwei komplexe Zahlen ein, waehle eine Operation und sieh das Ergebnis sofort. Unterstuetzte Operationen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Betrag, Argument, konjugiert komplex, ganzzahlige Potenzen (Satz von De Moivre) und n-te Wurzeln (alle n verschiedenen Werte).

Beispiel ausprobieren

Wähle ein Szenario, um zu sehen, wie der Rechner funktioniert, und passe dann die Werte an

Signaladdition

Addiere zwei Phasorsignale in komplexer Form, um die Resultierende zu finden.

Wichtige Werte: z₁ = 3 + 4i · z₂ = 1 − 2i · Addition

Schaltungsimpedanz

Dividiere zwei Impedanzen, um das Uebertragungsverhaeltnis zu berechnen.

Wichtige Werte: z₁ = 3 + 4i · z₂ = 1 + 2i · Division

De-Moivre-Potenz

Erhebe eine komplexe Zahl mit dem Satz von De Moivre in die 10. Potenz.

Wichtige Werte: z₁ = 1 + i · n = 10 · Potenz

Kubikwurzeln von −8

Finde alle drei Kubikwurzeln von −8, dargestellt als gleichmaessig verteilte Punkte auf einem Kreis.

Wichtige Werte: z₁ = −8 + 0i · n = 3 · n-te Wurzel

Dokumentation

Ueber diesen Rechner

Komplexe Zahlen erweitern die reelle Zahlengerade zu einer zweidimensionalen Ebene und ermoeglichen es, dass jede Polynomgleichung Loesungen hat. Eine komplexe Zahl hat die Form $z = a + bi$ , wobei $a$ der Realteil, $b$ der Imaginaerteil und $i$ die Bedingung $i^2 = -1$ erfuellt.

Dieser Rechner unterstuetzt neun Operationen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Betrag, Argument, konjugiert komplex, ganzzahlige Potenzen (Satz von De Moivre) und n-te Wurzeln. Ergebnisse werden sowohl in kartesischer $(a + bi)$ als auch in Polarform $(r\angle\theta)$ dargestellt.

So verwendest du den Rechner

Waehle eine Operation aus den Auswahlkarten: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren, Betrag, Argument, Konjugiert, Potenz oder n-te Wurzel.
Gib z₁ ein, indem du den Realteil (a) und den Imaginaerteil (b) eingibst.
Gib z₂ ein (nur bei binaeren Operationen), indem du c und d eingibst.
Fuer Potenz gibst du den ganzzahligen Exponenten n ein. Fuer die n-te Wurzel gibst du den Wurzelgrad n ein (muss mindestens 2 sein).
Klicke auf Berechnen, um das Ergebnis in kartesischer und Polarform zusammen mit Betrag und Argument zu sehen.

Formeln

Darstellungsformen

Eine komplexe Zahl kann in kartesischer, polarer oder exponentieller Form ausgedrueckt werden:

z = a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}

wobei $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ und $\theta = \arg(z) = \operatorname{atan2}(b, a)$ .

Addition und Subtraktion

z_1 \pm z_2 = (a \pm c) + (b \pm d)i

Multiplikation

z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i

In Polarform: Betraege multiplizieren, Argumente addieren.

z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 \cdot \operatorname{cis}(\theta_1 + \theta_2)

Division

\frac{z_1}{z_2} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}

In Polarform: Betraege dividieren, Argumente subtrahieren.

\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot \operatorname{cis}(\theta_1 - \theta_2)

Betrag

|z| = \sqrt{a^2 + b^2}

Argument

\arg(z) = \operatorname{atan2}(b, a) \in (-\pi, \pi]

Wichtig: Verwende $\operatorname{atan2}(b, a)$ , nicht $\arctan(b/a)$ , da $\operatorname{atan2}$ alle vier Quadranten korrekt erkennt.

Konjugiert komplex

\bar{z} = a - bi

Wichtige Identitaet: $z \cdot \bar{z} = |z|^2 = a^2 + b^2$ .

Potenzen (Satz von De Moivre)

z^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))

Gueltig fuer alle ganzen Zahlen n (positiv, negativ und null). Fuer die Herleitung in Polarform und Anwendungen siehe den De-Moivre-Rechner.

n-te Wurzeln

z_k = r^{1/n}\left[\cos\!\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\!\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right)\right]

fuer $k = 0, 1, \ldots, n-1$ . Das ergibt genau $n$ verschiedene Wurzeln, gleichmaessig verteilt auf einem Kreis mit Radius $r^{1/n}$ . Fuer die geometrische Anordnung, Einheitswurzeln und Rechenbeispiele siehe den n-te-Wurzel-Rechner.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Phasorsignale addieren

Zwei Signale haben die Phasordarstellungen $V_1 = 3 + 4i$ und $V_2 = 1 - 2i$ . Bestimme den resultierenden Phasor.

V_1 + V_2 = (3+1) + (4-2)i = 4 + 2i

Betrag: $|4+2i| = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} \approx 4{,}47$ . Argument: $\theta \approx 26{,}57°$ .

Beispiel 2: Komplexe Zahlen dividieren

Berechne $(3+4i) \div (1+2i)$ .

\frac{3+4i}{1+2i} = \frac{(3\cdot1+4\cdot2)+(4\cdot1-3\cdot2)i}{1^2+2^2} = \frac{11-2i}{5} = 2{,}2 - 0{,}4i

Beispiel 3: Potenz mit De Moivre

Berechne $(1+i)^{10}$ .

In Polarform: $r = \sqrt{2}$ , $\theta = \pi/4$ .

(1+i)^{10} = (\sqrt{2})^{10} \cdot \operatorname{cis}(10 \cdot \pi/4) = 32 \cdot \operatorname{cis}(5\pi/2)

Da $5\pi/2 = \pi/2 + 2\pi$ , ergibt sich $32(\cos(\pi/2) + i\sin(\pi/2)) = 32i$ .

Beispiel 4: Kubikwurzeln von −8

Bestimme alle Kubikwurzeln von $-8$ .

Polarform: $r = 8$ , $\theta = \pi$ . Kubikwurzel des Betrags: $r^{1/3} = 2$ .

z_0 = 2\operatorname{cis}(\pi/3) = 1 + \sqrt{3}\,i \approx 1 + 1{,}732i

z_1 = 2\operatorname{cis}(\pi) = -2

z_2 = 2\operatorname{cis}(5\pi/3) = 1 - \sqrt{3}\,i \approx 1 - 1{,}732i

Diese drei Wurzeln sind in 120°-Abstaenden auf einem Kreis mit Radius 2 gleichmaessig verteilt.

Beispiel 5: Impedanz eines Wechselstromkreises

Ein RLC-Reihenkreis hat die Impedanz $Z = 100 + 40j\,\Omega$ . Bestimme den Betrag und den Phasenwinkel.

|Z| = \sqrt{100^2 + 40^2} = \sqrt{11600} \approx 107{,}7\,\Omega

\theta = \arctan(40/100) \approx 21{,}8°

Der Impedanzbetrag betraegt ca. 107,7 Ω mit einem Phasenwinkel von 21,8°.

Tipps und haeufige Fehler

Verwende atan2, nicht atan: $\operatorname{atan2}(b, a)$ erkennt den Quadranten fuer das Argument korrekt. Einfaches $\arctan(b/a)$ ist fuer die Quadranten II und III mehrdeutig.
Radiant vs. Grad: Das Argument wird standardmaessig im Bogenmass berechnet. Multipliziere mit $180/\pi$ , um in Grad umzurechnen.
Division erfordert die Konjugierte: Beim Dividieren multiplizierst du Zaehler und Nenner mit der Konjugierten des Nenners, um ihn zu rationalisieren.
Alle n Wurzeln existieren: Beim Berechnen von n-ten Wurzeln gibt es immer genau $n$ verschiedene Werte. Hoere nicht bei der Hauptwurzel auf.
arg(0) ist undefiniert: Das Argument von $0 + 0i$ hat keinen definierten Wert, da es keine Richtung vom Ursprung zu sich selbst gibt.
Genauigkeit ist wichtig: Gleitkommaarithmetik kann kleine Rundungsfehler einfuehren. Ergebnisse wie $1{,}23 \times 10^{-16}$ sind praktisch null.
Ingenieurkonvention: Elektroingenieure verwenden $j$ statt $i$ , da $i$ den elektrischen Strom bezeichnet.

Glossar

Komplexe Zahl: Eine Zahl der Form $a + bi$ mit Realteil $a$ und Imaginaerteil $b$ .
Realteil: Die Komponente $a$ in $z = a + bi$ . Schreibweise: $\operatorname{Re}(z)$ .
Imaginaerteil: Die Komponente $b$ in $z = a + bi$ . Schreibweise: $\operatorname{Im}(z)$ .
Betrag (Absolutwert): Der Abstand vom Ursprung: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Immer nicht-negativ.
Argument (Phasenwinkel): Der Winkel $\theta = \operatorname{atan2}(b, a)$ von der positiven reellen Achse zum Punkt $z$ .
Polarform: $z$ als $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ oder $r\angle\theta$ ausgedrueckt.
Kartesische Form: $z$ als $a + bi$ ausgedrueckt.
Argand-Diagramm: Grafische Darstellung komplexer Zahlen in einer 2D-Ebene mit reeller und imaginaerer Achse.
Satz von De Moivre: Die Formel $z^n = r^n \operatorname{cis}(n\theta)$ fuer ganzzahlige Potenzen komplexer Zahlen.
n-te Wurzel: Einer von $n$ verschiedenen Werten $w$ , die $w^n = z$ erfuellen.
Konjugiert komplex: Die Zahl $\bar{z} = a - bi$ , erhalten durch Vorzeichenwechsel des Imaginaerteils.

Haeufig gestellte Fragen

Was ist eine komplexe Zahl?

Eine komplexe Zahl hat die Form $z = a + bi$ , wobei $a$ und $b$ reelle Zahlen sind und $i^2 = -1$ gilt. Komplexe Zahlen erweitern das reelle Zahlensystem und sind in Ingenieurwissenschaften, Physik und Mathematik unverzichtbar.

Warum verwenden Ingenieure j statt i?

In der Elektrotechnik steht $i$ bereits fuer den elektrischen Strom. Um Verwechslungen zu vermeiden, verwenden Ingenieure $j$ fuer die imaginaere Einheit. Mathematisch gilt $j = i$ — es ist dasselbe Konzept.

Was ist der Unterschied zwischen Betrag und Argument?

Der Betrag $|z|$ ist der Abstand vom Ursprung (wie weit von null entfernt). Das Argument $\arg(z)$ ist der Winkel von der positiven reellen Achse (welche Richtung vom Ursprung). Zusammen definieren sie die Polarform.

Warum hat die n-te Wurzel einer komplexen Zahl n Werte?

Der Fundamentalsatz der Algebra garantiert, dass die Gleichung $w^n = z$ genau $n$ Loesungen in den komplexen Zahlen hat. Diese Wurzeln liegen gleichmaessig verteilt auf einem Kreis im Argand-Diagramm, getrennt durch Winkel von $2\pi/n$ .

Was ist die eulersche Formel?

Die eulersche Formel besagt $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ . Der Spezialfall $\theta = \pi$ ergibt die eulersche Identitaet: $e^{i\pi} + 1 = 0$ , die fuenf fundamentale Konstanten verbindet.

Kann ich negative Potenzen berechnen?

Ja. Fuer jedes $z \neq 0$ gilt $z^{-n} = 1/z^n$ . Der Satz von De Moivre behandelt negative Exponenten natuerlich: $z^{-n} = r^{-n} \operatorname{cis}(-n\theta)$ . Die einzige Einschraenkung ist $0^{-n}$ , was undefiniert ist.

Quellenverzeichnis

NIST Digital Library of Mathematical Functions: Complex Variables — National Institute of Standards and Technology (2024)
NIST DLMF: Euler's Formula and Exponential Function — National Institute of Standards and Technology (2024)
Mathematics LibreTexts: The Polar Form of Complex Numbers — LibreTexts Mathematics (2023)
Mathematics LibreTexts: De Moivre's Theorem and Powers of Complex Numbers — LibreTexts Mathematics (2023)
Wikipedia: Euler's Formula — Wikipedia / Community peer review (2024)
Wikipedia: De Moivre's Formula — Wikipedia / Community peer review (2024)
Wikipedia: Complex Number — Wikipedia / Community peer review (2024)
Wikipedia: Fundamental Theorem of Algebra — Wikipedia / Community peer review (2024)

Haftungsausschluss

Dieser Rechner dient ausschliesslich zu Bildungs- und Referenzzwecken. Obwohl wir um Genauigkeit bemueht sind, fuehrt Gleitkommaarithmetik systembedingt zu kleinen Rundungsfehlern. Ergebnisse sollten nicht als alleinige Grundlage fuer Ingenieurentscheidungen in sicherheitskritischen Anwendungen verwendet werden. Ueberpruefe kritische Berechnungen immer unabhaengig.

Die implementierten Formeln folgen den Standardkonventionen der komplexen Analysis, wie sie vom NIST, Wolfram MathWorld und gaengigen Hochschullehrbüchern dokumentiert werden. Die verwendete Hauptargument-Konvention ist $(-\pi, \pi]$ .