Dreiecksrechner

Was ist ein Dreiecksrechner?

Ein Dreiecksrechner berechnet alle unbekannten Seiten, Winkel und abgeleiteten Eigenschaften eines Dreiecks aus einer minimalen Menge bekannter Werte. Jedes Dreieck ist (bis auf Kongruenz) durch drei unabhaengige Messungen eindeutig bestimmt, sofern mindestens eine davon eine Seite ist. Die fuenf klassischen Eingabekombinationen sind:

• SSS — drei Seiten
• SAS — zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel
• ASA — zwei Winkel und die eingeschlossene Seite
• AAS — zwei Winkel und eine nicht eingeschlossene Seite
• SSA — zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel (mehrdeutiger Fall)

Aus dem geloesten Dreieck leitet dieser Rechner auch Flaeche, Umfang, Halbumfang, Inkreisradius, Umkreisradius, Hoehen und Seitenhalbierende ab — alle Eigenschaften, die in Geometriekursen, Vermessung, Navigation und Ingenieurwesen vorkommen.

So verwendest du diesen Rechner

1. Waehle einen Loesungsmodus (SSS, SAS, ASA, AAS oder SSA), je nachdem welche Werte du kennst.
2. Waehle die Winkeleinheit — Grad oder Bogenmass.
3. Gib die bekannten Werte ein in die Eingabefelder, die fuer den gewaehlten Modus erscheinen.
4. Sieh dir die Ergebnisse an: alle sechs Elemente (drei Seiten und drei Winkel), Flaeche, Umfang, Inkreisradius, Umkreisradius, Hoehen, Seitenhalbierende und schrittweise Loesungsformeln.

Beim SSA-Fall (mehrdeutig) werden beide gueltigen Dreiecke angezeigt, wenn sie existieren.

Wichtige Formeln

Kosinussatz

Verallgemeinert den Satz des Pythagoras fuer alle Dreiecke. Wird im SSS-Modus verwendet (um Winkel aus drei Seiten zu finden) und im SAS-Modus (um die dritte Seite aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel zu finden). Wenn $C = 90^\circ$, reduziert sich die Formel auf $c^2 = a^2 + b^2$.

Sinussatz

Verbindet jede Seite mit dem Sinus ihres gegenueberliegenden Winkels. Das gemeinsame Verhaeltnis entspricht dem Durchmesser des Umkreises ($2R$). Wird in den Modi ASA, AAS und SSA verwendet.

Formel von Heron (Flaeche aus drei Seiten)

Wobei $s$ der Halbumfang ist. Diese Formel berechnet die Flaeche direkt aus den drei Seitenlaengen, ohne einen Winkel oder eine Hoehe zu benoetigen.

Flaeche (zwei Seiten und eingeschlossener Winkel)

Wobei $a$ und $b$ zwei Seiten sind und $C$ der Winkel zwischen ihnen.

Inkreisradius und Umkreisradius

Der Inkreisradius $r$ ist der Radius des Inkreises (beruehrt alle drei Seiten). Der Umkreisradius $R$ ist der Radius des Umkreises (geht durch alle drei Ecken).

Hoehen

Die Hoehe von Ecke A ist der senkrechte Abstand von A zur Seite $a$. Jede Hoehe entspricht der doppelten Flaeche geteilt durch die zugehoerige Seite.

Seitenhalbierende

Eine Seitenhalbierende verbindet eine Ecke mit dem Mittelpunkt der gegenueberliegenden Seite. Die obige Formel gibt die Seitenhalbierende von Ecke A an; analoge Formeln gelten fuer $m_b$ und $m_c$.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Einzaeunung eines dreieckigen Grundstuecks (SSS)

Ein Vermesser misst ein dreieckiges Grundstueck mit den Seiten a = 85 m, b = 120 m und c = 95 m. Finde alle Winkel und die Flaeche.

1. Winkel A (Kosinussatz): $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{14400+9025-7225}{2 \times 120 \times 95} = \frac{16200}{22800} = 0{,}7105$
2. $A = \arccos(0{,}7105) \approx 44{,}73°$
3. Winkel B: $\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{7225+9025-14400}{2 \times 85 \times 95} = \frac{1850}{16150} = 0{,}1146$
4. $B = \arccos(0{,}1146) \approx 83{,}42°$
5. $C = 180° - 44{,}73° - 83{,}42° = 51{,}85°$
6. Flaeche (Formel von Heron): $s = 150$, $A = \sqrt{150 \times 65 \times 30 \times 55} \approx 4{.}010{,}9 \text{ m}^2$

Praxishinweis: Der Umfang betraegt 300 m Zaun, und die Flaeche betraegt etwa 0,99 Acres — nuetzlich fuer Kostenschaetzung und Grundstuecksbewertung.

Beispiel 2: Dachstuhl-Design (SAS)

Ein Architekt entwirft einen Dachstuhl mit Sparren a = 7 m und b = 10 m, die sich in einem Firstwinkel von C = 45°treffen. Finde die Spannweite (dritte Seite) und die Dachflaeche.

1. Spannweite c (Kosinussatz): $c = \sqrt{7^2 + 10^2 - 2(7)(10)\cos 45°} = \sqrt{49 + 100 - 98{,}99} = \sqrt{50{,}01} \approx 7{,}07 \text{ m}$
2. Flaeche: $A = \frac{1}{2}(7)(10)\sin 45° = 35 \times 0{,}7071 \approx 24{,}75 \text{ m}^2$
3. Winkel A: $A = \arcsin\!\left(\frac{7 \sin 45°}{7{,}07}\right) \approx 44{,}5°$
4. $B = 180° - 44{,}5° - 45° = 90{,}5°$

Praxishinweis: Dies ist fast ein rechtwinkliges Dreieck bei Ecke B. Die Spannweite von 7,07 m bestimmt den Stuetzabstand von Wand zu Wand.

Beispiel 3: Navigationspeilung (AAS)

Ein Schiff segelt 10 km auf Kurs 040° und wendet dann. Der Winkel am Start betraegt A = 70° und am Wendepunkt B = 70°, mit der bekannten Seite a = 10 km (gegenueber Winkel A). Finde die Rueckkehrentfernung.

1. $C = 180° - 70° - 70° = 40°$
2. Seite c (Sinussatz): $c = \frac{a \sin C}{\sin A} = \frac{10 \times \sin 40°}{\sin 70°} = \frac{10 \times 0{,}6428}{0{,}9397} \approx 6{,}84 \text{ km}$
3. Seite b: $b = \frac{a \sin B}{\sin A} = \frac{10 \times \sin 70°}{\sin 70°} = 10 \text{ km}$

Praxishinweis: Da A = B, ist das Dreieck gleichschenklig und die Seiten a und b sind gleich. Die direkte Rueckkehrentfernung betraegt etwa 6,84 km.

Beispiel 4: SSA-mehrdeutiger Fall

Gegeben: a = 7, b = 10, A = 30°. Wie viele gueltige Dreiecke existieren?

1. $\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{10 \times 0{,}5}{7} = 0{,}7143$
2. $B_1 = \arcsin(0{,}7143) \approx 45{,}58°$ und $B_2 = 180° - 45{,}58° = 134{,}42°$
3. $C_1 = 180° - 30° - 45{,}58° = 104{,}42°$ (gueltig, > 0)
4. $C_2 = 180° - 30° - 134{,}42° = 15{,}58°$ (gueltig, > 0)
5. Zwei gueltige Dreiecke existieren. Dreieck 1: B ≈ 45,58°, C ≈ 104,42°. Dreieck 2: B ≈ 134,42°, C ≈ 15,58°.

Praxishinweis: Der mehrdeutige SSA-Fall tritt auf, wenn der Winkel A spitz ist und die Seite a (gegenueber A) kuerzer als die Seite b ist. Pruefe immer den Supplementwinkel, um festzustellen, ob eine zweite Loesung existiert.

Loesungsmodus-Referenz

Haeufige Fehler vermeiden

Haeufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz?

Der Kosinussatz verbindet drei Seiten mit einem Winkel: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$. Verwende ihn, wenn du SSS (drei Seiten) oder SAS (zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel) kennst. Der Sinussatz verbindet jede Seite mit ihrem gegenueberliegenden Winkel: $a/\sin A = b/\sin B$. Verwende ihn fuer ASA, AAS und SSA. Fuer SSS und SAS ist der Kosinussatz numerisch stabiler.

Was ist der mehrdeutige SSA-Fall?

Wenn zwei Seiten und der Winkel gegenueber der ersten Seite gegeben sind (SSA), kann der Sinussatz $\sin B \leq 1$ mit zwei moeglichen Werten fuer B ergeben. Wenn beide einen positiven dritten Winkel C ergeben, erfuellen zwei verschiedene Dreiecke die gegebenen Daten. Wenn $\sin B > 1$, existiert kein Dreieck. Wenn $\sin B = 1$, existiert genau ein (rechtwinkliges) Dreieck.

Wie finde ich die Flaeche eines Dreiecks, ohne die Hoehe zu kennen?

Verwende die Formel von Heron, wenn du alle drei Seiten kennst, oder $\frac{1}{2}ab\sin C$, wenn du zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel kennst. Beide Methoden umgehen die Notwendigkeit einer senkrechten Hoehenmessung.

Was sind der Inkreisradius und der Umkreisradius?

Der Inkreisradius ($r$) ist der Radius des groessten Kreises, der in das Dreieck passt und alle drei Seiten beruehrt. Der Umkreisradius ($R$) ist der Radius des kleinsten Kreises, der durch alle drei Ecken geht. Fuer ein gleichseitiges Dreieck mit Seite $a$, $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ und $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Koennen drei Winkel allein ein Dreieck bestimmen?

Nein. Drei Winkel definieren eine Familie aehnlicher Dreiecke (gleiche Form, beliebige Groesse). Du brauchst mindestens eine Seite, um den Massstab festzulegen. Deshalb erfordern alle fuenf Loesungsmodi mindestens eine Seitenangabe.

Wie genau ist dieser Rechner?

Der Rechner verwendet IEEE 754 Gleitkomma-Arithmetik mit doppelter Genauigkeit (etwa 15–16 signifikante Stellen). Die Ergebnisse sind fuer typische Eingaben auf mindestens 4 Dezimalstellen genau. Extremfaelle (sehr flache oder sehr grosse Dreiecke) koennen aufgrund von Gleitkomma-Einschraenkungen eine leicht reduzierte Genauigkeit aufweisen.

Haftungsausschluss

Dieser Rechner wird ausschliesslich fuer Bildungs- und Komfortzwecke bereitgestellt. Obwohl die Formeln auf mathematischen Standarddefinitionen basieren (bezogen von Wolfram MathWorld und Standard-Geometrie-Lehrbuechern), sollten die Ergebnisse nicht als alleinige Grundlage fuer kritische Ingenieur-, Bau-, Vermessungs- oder Navigationsentscheidungen verwendet werden. Ueberprüfe Messungen immer unabhaengig und konsultiere einen qualifizierten Fachmann fuer Anwendungen, bei denen Praezision wichtig ist.