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Einfache 2D-Addition
Addiere zwei 2D-Vektoren: (3, 4) + (1, 2).
Wichtige Werte: v1 = (3, 4) · v2 = (1, 2) · Ergebnis = (4, 6)
3D-Kreuzprodukt
Berechne das Kreuzprodukt zweier Einheitsachsenvektoren.
Wichtige Werte: v1 = (1, 0, 0) · v2 = (0, 1, 0) · Ergebnis = (0, 0, 1)
Winkel zwischen Vektoren
Finde den Winkel zwischen zwei senkrechten 2D-Vektoren.
Wichtige Werte: v1 = (1, 0) · v2 = (0, 1) · Winkel = 90 Grad
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Vektoren verstehen
Ein Vektor ist ein mathematisches Objekt, das sowohl einen Betrag (Laenge) als auch eine Richtung besitzt. Vektoren sind grundlegend in der Physik, im Ingenieurwesen, in der Computergrafik und in vielen Bereichen der Mathematik. Dieser Rechner unterstuetzt neun gaengige Vektoroperationen in 2D- und 3D-Raeumen.
Vektoren werden typischerweise als geordnete Tupel von Komponenten geschrieben. In 2D ist ein Vektor (x, y); in 3D ist er (x, y, z). Jede Komponente stellt die Verschiebung entlang der entsprechenden Achse dar.
So verwendest du den Vektorrechner
- Dimension waehlen: Waehle zwischen 2D- und 3D-Modus. Im 2D-Modus werden die z-Komponenten automatisch auf null gesetzt.
- Operation waehlen: Waehle eine der neun verfuegbaren Operationen aus dem Dropdown-Menue.
- Vektorkomponenten eingeben: Gib die x-, y- (und z- fuer 3D) Komponenten fuer Vektor A ein. Fuer Zweivektoroperationen gib auch Vektor B ein.
- Ergebnisse anzeigen: Der Rechner zeigt den Ergebnisvektor oder Skalar zusammen mit Betraegen und einer Zusammenfassung an.
Unterstuetzte Operationen
| Operation | Eingaben | Ausgabe |
|---|---|---|
| Addition | Zwei Vektoren | Vektor |
| Subtraktion | Zwei Vektoren | Vektor |
| Skalarmultiplikation | Ein Vektor + Skalar | Vektor |
| Skalarprodukt | Zwei Vektoren | Skalar |
| Kreuzprodukt | Zwei Vektoren | Vektor (3D) / Skalar (2D) |
| Betrag | Ein Vektor | Skalar |
| Einheitsvektor | Ein Vektor | Vektor |
| Winkel | Zwei Vektoren | Skalar (Grad) |
| Projektion | Zwei Vektoren | Vektor + Skalar |
Wichtige Formeln
Vektorbetrag
Skalarprodukt
Kreuzprodukt (3D)
Winkel zwischen Vektoren
Vektorprojektion
Berechnungsbeispiele
Addition: (3, 4) + (1, 2)
Skalarprodukt: (3, 4) . (1, 2)
Betrag von (3, 4)
Haeufig gestellte Fragen
Was ist der Unterschied zwischen dem Skalarprodukt und dem Kreuzprodukt?
Das Skalarprodukt liefert einen Skalar, der misst, wie parallel zwei Vektoren sind. Das Kreuzprodukt liefert einen Vektor senkrecht zu beiden Eingabevektoren (in 3D) oder eine skalare z-Komponente (in 2D). Das Skalarprodukt ist null fuer senkrechte Vektoren; das Kreuzprodukt ist null fuer parallele Vektoren.
Warum ist das Kreuzprodukt nur in 3D definiert?
Das Kreuzprodukt als Vektor ist nur in 3D (und 7D) definiert. In 2D gibt der Rechner die z-Komponente des Kreuzprodukts zurueck, also den Skalarwert v1.x * v2.y - v1.y * v2.x. Dieser Skalar entspricht der vorzeichenbehafteten Flaeche des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms.
Was ist ein Einheitsvektor und wann ist er nuetzlich?
Ein Einheitsvektor hat den Betrag 1 und zeigt in dieselbe Richtung wie der urspruengliche Vektor. Er wird berechnet, indem der Vektor durch seinen Betrag geteilt wird. Einheitsvektoren sind nuetzlich, um Richtungen ohne Betrag darzustellen, Daten zu normalisieren und Koordinatensysteme aufzubauen.
Was bedeutet Vektorprojektion?
Die Projektion von Vektor v1 auf Vektor v2 liefert die Komponente von v1, die entlang der Richtung von v2 liegt. Die skalare Projektion ist die vorzeichenbehaftete Laenge dieser Komponente, und die Vektorprojektion ist der tatsaechliche Vektor entlang v2.
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