Mathematik

Quadratische-Formel-Rechner

Ein umfassender Rechner fuer die quadratische Formel, der jede Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 loest. Erhalte exakte und dezimale Loesungen, Diskriminanten-Klassifikation (zwei reelle, doppelte oder komplexe Loesungen), Scheitelpunktkoordinaten, Symmetrieachse, y-Achsenabschnitt, alle drei Gleichungsformen (Standard-, Scheitel- und faktorisierte Form) sowie eine interaktive Parabelgrafik. Verwendet einen numerisch stabilen Algorithmus fuer praezise Ergebnisse auch bei extremen Koeffizienten.

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Standardform

Klassische quadratische Gleichung x² − 5x + 6 = 0 mit zwei ganzzahligen Loesungen (x = 2 und x = 3)

Wichtige Werte: a = 1 · b = −5 · c = 6

Physikaufgabe

Wurfhoehen-Gleichung −4,9t² + 20t + 1,5 = 0 (Wann trifft der Ball auf den Boden?)

Wichtige Werte: a = −4,9 · b = 20 · c = 1,5

Komplexe Loesungen

Gleichung x² + 2x + 5 = 0 ohne reelle Loesungen (Diskriminante < 0)

Wichtige Werte: a = 1 · b = 2 · c = 5

Dokumentation

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So verwenden Sie diesen Rechner

Loesen Sie jede quadratische Gleichung in drei einfachen Schritten.

Bringen Sie Ihre Gleichung in Normalform: Ordnen Sie Ihre Gleichung zu $ax^2 + bx + c = 0$ um.
Geben Sie die Koeffizienten ein: Tippen Sie die Werte von $a$ , $b$ und $c$ in die Eingabefelder ein. Zum Beispiel fuer $2x^2 - 5x + 3 = 0$ geben Sie a = 2, b = -5, c = 3 ein.
Lesen Sie die Ergebnisse: Der Rechner zeigt sofort die Nullstellen (exakt und dezimal), Diskriminante, Scheitelpunkt, Parabelgrafik und alle drei Gleichungsformen an.

Die quadratische Formel

Die quadratische Formel liefert die Loesungen jeder quadratischen Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$ wobei $a \neq 0$ :

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Dabei ist $a$ der Koeffizient von $x^2$ , $b$ der Koeffizient von $x$ und $c$ das konstante Glied. Das $\pm$ -Zeichen bedeutet, dass Sie die Formel zweimal auswerten: einmal mit Addition und einmal mit Subtraktion.

Wichtige Eigenschaften

Die Formel funktioniert fuer jede quadratische Gleichung, einschliesslich nicht faktorisierbarer.
Der Ausdruck unter der Wurzel, $b^2 - 4ac$ , heisst Diskriminante und bestimmt die Art der Nullstellen.
Jede quadratische Gleichung hat nach dem Fundamentalsatz der Algebra genau zwei Loesungen (einschliesslich Vielfachheit).

Die Diskriminante

Die Diskriminante ist definiert als:

\Delta = b^2 - 4ac

Sie bestimmt die Art der Nullstellen vor dem Loesen:

$\Delta > 0$

Zwei verschiedene reelle Nullstellen. Die Parabel schneidet die x-Achse an zwei Punkten.

$\Delta = 0$

Eine doppelte Nullstelle. Die Parabel beruehrt die x-Achse am Scheitelpunkt.

$\Delta < 0$

Zwei konjugiert komplexe Nullstellen. Die Parabel schneidet die x-Achse nicht.

Drei Loesungsmethoden

1. Die quadratische Formel

Die universelle Methode, die fuer jede quadratische Gleichung funktioniert:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

2. Faktorisierung

Wenn die Diskriminante eine Quadratzahl ist, kann die Gleichung faktorisiert werden:

ax^2 + bx + c = a(x - r_1)(x - r_2) = 0

Dies liefert die Nullstellen $x = r_1$ und $x = r_2$ direkt.

3. Quadratische Ergaenzung

Transformieren Sie die Gleichung in die Scheitelpunktform, indem Sie ein vollstaendiges Quadrat erzeugen. Diese Methode leitet die quadratische Formel selbst her und zeigt direkt die Scheitelpunktform.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1: Wurfbewegung

Ein Ball wird aus 1,5 m Hoehe mit 15 m/s nach oben geworfen. Die Hoehengleichung ist $h(t) = -5t^2 + 15t + 1{,}5$ . Wann trifft er den Boden?

Koeffizienten: a = -5, b = 15, c = 1,5

$\Delta = 225 + 30 = 255$

$t = \frac{-15 \pm \sqrt{255}}{-10}$

Der Ball trifft den Boden nach etwa 3,10 Sekunden.

Beispiel 2: Gartenabmessungen

Die Laenge eines Gartens ist 3 m groesser als seine Breite, und die Flaeche betraegt 108 m². Aufstellen: $w^2 + 3w - 108 = 0$ .

$\Delta = 9 + 432 = 441 = 21^2$ (Quadratzahl)

$w = \frac{-3 \pm 21}{2}$ , also $w = 9$ oder $w = -12$

Breite = 9 m, Laenge = 12 m. Probe: 9 x 12 = 108 m².

Drei Gleichungsformen

Jede quadratische Gleichung kann in drei aequivalenten Formen dargestellt werden:

Normalform

ax^2 + bx + c = 0

Geeignet fuer: Koeffizienten identifizieren, quadratische Formel anwenden.

Scheitelpunktform

a(x - h)^2 + k

Geeignet fuer: Grafische Darstellung, Min/Max-Werte finden, Scheitelpunkt (h, k) identifizieren.

Faktorisierte Form

a(x - r_1)(x - r_2) = 0

Geeignet fuer: Nullstellen direkt ablesen. Nur bei reellen Nullstellen anwendbar.

Formeln von Vieta

Die Formeln von Vieta verknuepfen die Nullstellen einer quadratischen Gleichung mit ihren Koeffizienten, ohne sie zu loesen:

r_1 + r_2 = -\frac{b}{a} \qquad r_1 \cdot r_2 = \frac{c}{a}

Diese Beziehungen gelten auch fuer komplexe Nullstellen und bieten eine schnelle Ueberpruefung berechneter Loesungen.

Historischer Hintergrund

Die quadratische Gleichung hat eine 4.000-jaehrige Geschichte:

Babylonische Urspruenge (~2000-1800 v. Chr.): Keilschrifttafeln zeigen, dass Schreiber quadratische Probleme mit geometrischen Methoden loesten, die der quadratischen Ergaenzung aehneln.
Indische Mathematiker (5.-12. Jh. n. Chr.): Brahmagupta (~628) gab die erste explizite algebraische Loesung mit negativen Zahlen an. Bhaskara II (~1150) behandelte erstmals die Diskriminante.
Islamisches Goldenes Zeitalter (8.-12. Jh.): Al-Chwarizmi (~820) loeste systematisch alle Typen quadratischer Gleichungen und gab uns das Wort Algebra.
Europaeische Synthese (12.-17. Jh.): Die Formel erhielt ihre moderne Notation durch Descartes (1637). Abel und Galois bewiesen, dass es fuer Grad 5 und hoeher keine allgemeine Formel gibt.

Haeufig gestellte Fragen

Wie verwendet man die quadratische Formel?

Identifizieren Sie die Koeffizienten a, b, c aus Ihrer Gleichung in Normalform (ax² + bx + c = 0). Berechnen Sie die Diskriminante b² − 4ac. Setzen Sie in x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) ein. Das ± liefert zwei Loesungen.

Was bedeutet eine negative Diskriminante?

Eine negative Diskriminante bedeutet, dass die Gleichung keine reellen Loesungen hat, aber zwei konjugiert komplexe Loesungen der Form a ± bi. Grafisch schneidet die Parabel die x-Achse nicht.

Kann eine quadratische Gleichung nur eine Loesung haben?

Wenn die Diskriminante gleich Null ist, hat die Gleichung eine doppelte Nullstelle. Technisch gibt es immer noch zwei Nullstellen, aber sie sind identisch. Die Parabel beruehrt die x-Achse an genau einem Punkt.

Was passiert, wenn a = 0 ist?

Wenn a = 0 ist, ist die Gleichung nicht quadratisch, sondern linear (bx + c = 0), mit der Loesung x = −c/b. Der Rechner behandelt diesen Fall automatisch.

Warum funktioniert die quadratische Formel?

Die Formel wird durch quadratische Ergaenzung der allgemeinen Gleichung ax² + bx + c = 0 hergeleitet. Die wesentlichen Schritte sind: durch a teilen, die Konstante verschieben, (b/2a)² zu beiden Seiten addieren, um ein vollstaendiges Quadrat zu erzeugen, dann die Quadratwurzel ziehen und nach x aufloesen.

Haftungsausschluss

Bildungswerkzeug

Dieser Rechner dient Bildungs- und Referenzzwecken. Er verwendet einen numerisch stabilen Algorithmus fuer genaue Ergebnisse, aber sehr grosse Koeffizienten (ueber 10¹⁵) koennen aufgrund von Gleitkomma-Arithmetik-Einschraenkungen zu reduzierter Dezimalpraezision fuehren. Fuer kritische Berechnungen verwenden Sie spezialisierte mathematische Software wie Mathematica, MATLAB oder SageMath.