Ekuation

Mathematik

Matrizenrechner

Ein umfassender Matrizenrechner, der 11 Operationen auf Matrizen bis zu 10x10 unterstuetzt. Gib eine oder zwei Matrizen ein, waehle eine Operation und sieh das Ergebnis sofort. Unterstuetzt Addition, Subtraktion, Multiplikation, Skalarmultiplikation, Transponierung, Determinante, Inverse, reduzierte Zeilenstufenform (RREF), Rang, Spur und Eigenwertberechnung. Die Ergebnisse umfassen Matrixeigenschaften und formatierte Ausgaben.

Anzahl der Zeilen in Matrix A.

Anzahl der Spalten in Matrix A.

Anzahl der Zeilen in Matrix B.

Anzahl der Spalten in Matrix B.

Matrizenrechner-Tipps

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Wähle ein Szenario, um zu sehen, wie der Rechner funktioniert, und passe dann die Werte an

Zwei Matrizen addieren

Addiere zwei 2x2-Matrizen elementweise.

Wichtige Werte: 2x2-Matrizen · A + B · Addition

Matrixmultiplikation

Multipliziere eine 2x3-Matrix mit einer 3x2-Matrix fuer ein 2x2-Ergebnis.

Wichtige Werte: 2x3 mal 3x2 · A mal B · Multiplikation

3x3-Determinante

Berechne die Determinante einer 3x3-Matrix.

Wichtige Werte: 3x3-Matrix · det(A) · Determinante

Matrixinverse

Berechne die Inverse einer 2x2-Matrix.

Wichtige Werte: 2x2-Matrix · A⁻¹ · Inverse

Dokumentation

Ueber diesen Rechner

Matrizen sind rechteckige Zahlenschemata, die in der linearen Algebra, Informatik, Ingenieurwissenschaft und Datenwissenschaft zentral sind. Dieser Rechner unterstuetzt 11 Operationen auf Matrizen bis zu 10×1010 \times 10, von grundlegender Arithmetik bis zur Eigenwertberechnung.

Gib deine Matrixeintraege ein, waehle eine Operation und erhalte sofortige Ergebnisse zusammen mit Eigenschaften der Eingabematrix, z. B. ob sie quadratisch, symmetrisch, singulaer, diagonal oder die Einheitsmatrix ist.

Wichtige Formeln

Matrixaddition

Fuer zwei m×nm \times n-Matrizen AA und BB wird die Summe elementweise berechnet:

(A+B)ij=aij+bij(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

Matrixmultiplikation

Fuer eine m×nm \times n-Matrix AA und eine n×pn \times p-Matrix BB ist das Produkt eine m×pm \times p-Matrix:

(AB)ij=∑k=1naikbkj(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}

Determinante (2x2)

det⁡(abcd)=ad−bc\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc

Determinante (3x3, Regel von Sarrus)

det⁡(A)=a(ei−fh)−b(di−fg)+c(dh−eg)\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Matrixinverse (2x2)

A−1=1ad−bc(d−b−ca)A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Eigenwertgleichung

Die Eigenwerte λ\lambda einer Matrix AA erfuellen:

det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0

Spur

tr⁡(A)=∑i=1naii\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Matrixaddition

Addiere zwei 2x2-Matrizen:

(1234)+(5678)=(681012)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}

Beispiel 2: Matrixmultiplikation

Multipliziere eine 2x2-Matrix mit einer 2x2-Matrix:

(1234)(5678)=(19224350)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}

Beispiel 3: Determinante

Berechne die Determinante einer 3x3-Matrix:

det⁡(6114−25287)=6(−14−40)−1(28−10)+1(32+4)=−306\det \begin{pmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 4 & -2 & 5 \\ 2 & 8 & 7 \end{pmatrix} = 6(-14-40) - 1(28-10) + 1(32+4) = -306

Beispiel 4: Inverse einer 2x2-Matrix

(4726)−1=110(6−7−24)=(0.6−0.7−0.20.4)\begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{pmatrix}

Tipps und haeufige Fehler

  • Reihenfolge der Multiplikation beachten. Im Allgemeinen gilt AB≠BAAB \neq BA. Pruefe immer die Dimensionen vor der Multiplikation.
  • Invertierbarkeit pruefen. Stelle vor der Berechnung der Inversen sicher, dass die Determinante ungleich null ist. Eine singulaere Matrix (det = 0) hat keine Inverse.
  • RREF ist eindeutig. Unabhaengig davon, welche Folge von Zeilenoperationen du durchfuehrst, ist die RREF einer Matrix immer dieselbe.
  • Spur und Eigenwerte. Die Spur einer Matrix ist gleich der Summe ihrer Eigenwerte, und die Determinante ist gleich dem Produkt ihrer Eigenwerte.
  • Gleitkommagenauigkeit. Sehr kleine Werte nahe null koennen durch Gleitkommaarithmetik entstehen. Werte kleiner als 10^(-10) werden als null behandelt.

Haeufig gestellte Fragen

Was ist eine Matrix?

Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen in Zeilen und Spalten. Sie ist ein grundlegendes Objekt der linearen Algebra und wird zur Darstellung von linearen Gleichungssystemen, linearen Abbildungen und vielem mehr verwendet.

Warum ist Matrixmultiplikation nicht kommutativ?

Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ, weil A mal B und B mal A unterschiedliche Dimensionen haben koennen oder unterschiedliche elementweise Summen ergeben. Selbst wenn beide Produkte definiert sind und die gleichen Dimensionen haben, sind die Ergebnisse in der Regel verschieden, da sich die Reihenfolge der Zeilen-Spalten-Skalarprodukte aendert.

Wann ist eine Matrix invertierbar?

Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar (regulaer), wenn ihre Determinante ungleich null ist. Aequivalent dazu muss die Matrix vollen Rang haben, das heisst, alle Zeilen (oder Spalten) sind linear unabhaengig.

Was ist die reduzierte Zeilenstufenform (RREF)?

Die RREF ist eine standardisierte Form einer Matrix, die durch Gauss-Jordan-Elimination erreicht wird. In der RREF ist jeder fuehrende Eintrag 1, jede fuehrende 1 ist der einzige von null verschiedene Eintrag in ihrer Spalte, und die fuehrenden Einsen bewegen sich streng nach rechts, wenn man nach unten geht. Die RREF ist fuer jede gegebene Matrix eindeutig.

Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren?

Fuer eine quadratische Matrix A ist ein Eigenwert lambda ein Skalar, fuer den Av = lambda v fuer einen Vektor v ungleich null (den Eigenvektor) gilt. Eigenwerte zeigen grundlegende Eigenschaften einer Transformation: Sie verraten dir, welche Richtungen skaliert werden und um wie viel.

Kann ich Eigenwerte fuer nicht-quadratische Matrizen berechnen?

Eigenwerte sind nur fuer quadratische Matrizen definiert. Fuer nicht-quadratische Matrizen kannst du singulaere Werte ueber die Singulaerwertzerlegung (SVD) berechnen, die das Konzept verallgemeinert.

Haftungsausschluss

Dieser Rechner dient Bildungs- und Referenzzwecken. Obwohl die zugrunde liegenden Algorithmen den Standard-Definitionen der linearen Algebra folgen und anhand etablierter mathematischer Bibliotheken validiert sind, koennen die Ergebnisse bei sehr grossen oder schlecht konditionierten Matrizen Gleitkomma-Praezisionsgrenzen unterliegen. Ueberpruefe kritische Ergebnisse immer unabhaengig.

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