Mathematik

Einheitskreis-Explorer

Ein interaktiver Einheitskreis-Explorer, der Sinus, Kosinus, Tangens, Kosekans, Sekans und Kotangens für jeden Winkel in Grad oder Bogenmaß berechnet. Visualisiere, wo der Winkel auf dem Einheitskreis liegt, bestimme den Quadranten und finde sofort den Referenzwinkel.

Einheitskreis-Tipps

Klicke, um Tipps einzublenden

Beispiel ausprobieren

Wähle ein Szenario, um zu sehen, wie der Rechner funktioniert, und passe dann die Werte an

30 Grad

Ein häufig verwendeter spezieller Winkel in der Trigonometrie.

Wichtige Werte: 30° = π/6 rad · sin = 0,5 · cos ≈ 0,866

45 Grad

Der Winkel, bei dem Sinus und Kosinus gleich sind.

Wichtige Werte: 45° = π/4 rad · sin ≈ 0,707 · cos ≈ 0,707

90 Grad

Ein rechter Winkel auf der positiven y-Achse.

Wichtige Werte: 90° = π/2 rad · sin = 1 · cos = 0

Dokumentation

Schnellnavigation

Springe zu einem beliebigen Abschnitt fuer spezifische Informationen zum Einheitskreis und trigonometrischen Funktionen.

Den Einheitskreis verstehen

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1, der im Ursprung eines Koordinatensystems liegt. Fuer jeden Winkel, gemessen von der positiven x-Achse, hat der Punkt, an dem der Endschenkel des Winkels den Einheitskreis schneidet, die Koordinaten (cos, sin). Diese geometrische Beziehung ist die Grundlage aller trigonometrischen Funktionen.

Jeder Punkt auf dem Einheitskreis erfuellt die trigonometrische Identitaet des Pythagoras:

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

So verwendest du diesen Explorer

Winkeleinheit waehlen: Waehle zwischen Grad und Bogenmass.
Winkel eingeben: Gib einen beliebigen Winkelwert ein. Negative Winkel und Winkel ueber 360 Grad (oder 2pi im Bogenmass) werden unterstuetzt und automatisch normalisiert.
Ergebnisse ablesen: Der Explorer zeigt alle sechs trigonometrischen Funktionswerte, die Koordinaten auf dem Einheitskreis, den Quadranten und den Referenzwinkel an.

Definitionen der trigonometrischen Funktionen

Fuer einen Punkt P = (x, y) auf dem Einheitskreis beim Winkel theta:

\sin\theta = y \qquad \cos\theta = x

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{y}{x}

\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} = \frac{1}{y}

\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} = \frac{1}{x}

\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{x}{y}

Winkelumrechnung

\text{Bogenmass} = \text{Grad} \times \frac{\pi}{180}

Referenztabelle spezieller Winkel

Diese Winkel haben exakte trigonometrische Werte, die ohne Dezimalzahlen ausdrueckbar sind:

Grad	Bogenmass	sin	cos	tan
0	0	0	1	0
30	pi/6	1/2	sqrt(3)/2	1/sqrt(3)
45	pi/4	sqrt(2)/2	sqrt(2)/2	1
60	pi/3	sqrt(3)/2	1/2	sqrt(3)
90	pi/2	1	0	undefiniert
180	pi	0	-1	0
270	3pi/2	-1	0	undefiniert

Die ASTC-Regel (Vorzeichen nach Quadrant)

Die ASTC-Merkregel hilft dir, dir zu merken, welche trigonometrischen Funktionen in welchem Quadranten positiv sind:

Quadrant I (0-90)

Alle Funktionen sind positiv

Quadrant II (90-180)

Sinus (und Kosekans) sind positiv

Quadrant III (180-270)

Tangens (und Kotangens) sind positiv

Quadrant IV (270-360)

Cosinus (und Sekans) sind positiv

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1: 150 Grad

150 Grad liegt in Quadrant II. Der Referenzwinkel betraegt 180 - 150 = 30 Grad.

\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}

\cos 150^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}

Beispiel 2: 5pi/4 Bogenmass (225 Grad)

225 Grad liegt in Quadrant III. Der Referenzwinkel betraegt 225 - 180 = 45 Grad.

\sin\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0{,}7071

\cos\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0{,}7071

Beispiel 3: -60 Grad

-60 Grad wird zu 300 Grad normalisiert und liegt in Quadrant IV. Der Referenzwinkel betraegt 360 - 300 = 60 Grad.

\sin(-60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}

\cos(-60^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}

Haeufig gestellte Fragen

Was ist der Einheitskreis?

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1, der im Ursprung (0, 0) des kartesischen Koordinatensystems zentriert ist. Er ist das grundlegende Werkzeug zur geometrischen Definition trigonometrischer Funktionen.

Warum ist der Einheitskreis wichtig?

Der Einheitskreis bietet eine visuelle und geometrische Moeglichkeit, trigonometrische Funktionen fuer alle Winkel zu verstehen, nicht nur fuer die in rechtwinkligen Dreiecken. Er erweitert die Definitionen von Sinus, Kosinus und anderen trigonometrischen Funktionen ueber 0 bis 90 Grad hinaus auf alle reellen Zahlen.

Was sind spezielle Winkel auf dem Einheitskreis?

Spezielle Winkel sind solche, deren trigonometrische Werte als exakte Brueche oder Wurzeln ausdrueckbar sind: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315 und 330 Grad. Diese entsprechen Vielfachen und Kombinationen von pi/6, pi/4 und pi/3 im Bogenmass.

Was bedeutet es, wenn eine trigonometrische Funktion undefiniert ist?

Eine trigonometrische Funktion ist undefiniert, wenn ihre Berechnung eine Division durch null erfordern wuerde. Zum Beispiel ist der Tangens (sin/cos) undefiniert, wenn cos = 0 ist, was bei 90 und 270 Grad der Fall ist. Ebenso ist der Kosekans (1/sin) undefiniert, wenn sin = 0 ist, also bei 0 und 180 Grad.

Was ist die ASTC-Regel?

ASTC ist eine Merkregel, um sich zu merken, welche trigonometrischen Funktionen in welchem Quadranten positiv sind: Alle Funktionen sind in Quadrant I positiv, nur Sinus in Quadrant II, nur Tangens in Quadrant III und nur Kosinus in Quadrant IV.